BÀI 1/Cho M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.
a.Chứng minh

B.Gọi H là giao điểm của AE và BC . Chứng minh 3 điểm D, H, F thẳng hàng.
Giải













aXét tam giác ABC có
(gt)
Mặt khác . Vì
(đường chéo h.vuông) mà FM // AC ( Đồng vị
)
Nên

Suy ra E là trực tâm của tam giác ABC

tại H
b.Gọi O là giao điểm DM và AC, I là giao điểm EB và FM

Ta có
vuông tại H có HO là trung tuyến

Xét
có HO là trong tuyến và


vuông tại H

Tương tự
Ta có
vuông tại H có HI là trung tuyến

Xét
có HI là trong tuyến và


vuông tại H



Vậy D, H, F thằng hàng




BÀI 2/ Cho tam giác ABC, lấy một điểm O sao cho tia AO nằm giữa hai tia AB và AC . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB.
a.Tứ giác MNPQ là hình gì, vì sao ?
b. Tìm vị trí điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật đồng thời diện tích tứ giác MNPQ bằng diện tích tam giác ABC.
GIẢI


Hình vẽ:









a.Tứ giác có QM // PN (cùng //AO)
và QM = PN ( cùng = ½ AO)
Tứ giác MNPQ là hình bình hành
b.
Giả sử MNPQ là hình chử nhật
0,25 đ
Do diện tích MNPQ = diện tích tam giác ABC
Mà
( AH là đường cao
)


( AH là đường cao
)

tia AH sao cho AO = 2AH ( AH là đường cao
)
Ngược lại: Lấy điểm O thuộc tia AH sao cho AO = 2AH ( AH là đường cao
), 0,25 đ
Ta dễ chứng minh được tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
và diện tích MNPQ = diện tích tam giác ABC.
Vậy điểm O cần tìm thuộc tia AH sao cho OA = 2AH ( với AH là đường cao
).
Có duy nhất điểm O thỏa mản yêu cầu bài toán





BÀI 3/Cho hình vuông ABCD. lấy điểm M tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ

a.Chứng minh rằng CF=DE và

b.Chứng minh CM, BF, DE đồng quy
c.Lấy điểm N trên cạnh BC sao cho BN = BE. Vẽ
. Chứng minh rằng


GIẢI

a.Xét hai tam giác vuông
AED và tam giác vuông DFC có


b. Gọi giao điểm của CM và EF là I, MF và BC là N.
ta suy ra

suy ra

lại có



Chứng minh tương tự câu a. (
) , ta được

nên CM, BF, DE là 3 đường cao của tam giác CEF nên đồng quy
c. Từ chứng minh câu b. suy ra H là giao điểm của FB và CE
ta có

Lại có
( cùng pụ
)












Bài 4:
a/ Cho tam giác ABC . kẻ trung tuyến AM. Chứng minh

b/Cho tam giác ABC kẻ 3 đường cao
gặp nhau tại H
Chứng minh rằng


Giải
a.Kẻ

Ta có




b.
Ta có



















Bài 5:
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đường chéo AC. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E , đường thẳng EB cắt đường thẳng DC tại F. Chứng minh
a/Tam giác AEC đồng dạng với tam giác CAF,
b/Tính số đo góc EOF.

Giải
a/ Ta có ED// BC
AB// DF
=> Tam giác AEB đd CBF (g.g) (đvị)




do đó Tam giác AEC đồng dạng với
tam giác CAF (