GIẢI BÀI THI HSG 8 - NĂM HỌC 2011-2012
Giáo viên: Trần Thanh Bạch

Bài 1: (4.0 điểm)
1/ Cho:

- Thực hiện rút gọn A.
- Tìm x nguyên để A nguyên.
Giải
1/

ĐKXĐ x ≠ 5 và x ≠ 2
Ta có MC = ( x - 5)(x - 2)





A nguyên khi và chỉ khi (x-2) là ước của 1, => x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1
Vậy x = 3 hoặc x = 1.
2/ Cho:
a > b >0 và 3a2 + 3b2 = 10ab
Tính giá trị của biểu thức:

Giải
Từ 3a2 + 3b2 = 10ab => 3(a2 +b2) = 10ab=>

ta có
thay a2 + b2 =
ab vào P2
Ta được:

Bài 2: (4.0 điểm)
1/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4 + 2008x2 + 2007x + 2008.
2/ Tìm x biết:


Giải
1/


2/


ĐKXĐ:

phân tích mẫu thành NT ta có






Bài 3: (4.0 điểm)
1/ Chứng minh:
a2 + b2 + c2 ( ab + ac + bc
với mọi số a, b, c.

2/ Chứng minh phương trình: 2x2 – y2 = 2011 không có nghiệm nguyên.
Giải
1/ Nhân 2 vế cho 2 ta được
( 2(a2 + b2 + c2 )( 2(ab + ac + bc)
( 2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc ( 0
( (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 ( 0
Do (a-b)2 ( 0 ,(a-c)2 ( 0 ,(b-c)2 ( 0
nên BĐT luôn đúng
2/
Giả sử phương trình: 2x2 – y2 = 2011 có nghiệm nguyên
Suy ra y lẻ. Đặt y = 2m + 1(m
Z)
Thay y vào phương trình, ta được:
x2 – 2m(m + 1) = 1006 (1)
Từ (1) suy ra x chẵn hay x = 2n (n
Z)
Thay x vào phương trình (1), ta được:
m(m + 1) = 2n2 – 503 (Vô lí)
( Vì vế phải là lẻ, còn vế trái là chẵn).
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên
Bài 4: (4.0 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác D
BC. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F.
Chứng minh BF = CE.
Giải
* Vẽ hình chính xác:


Trong (BMF có AD//MF nên:

Trong (CAD có AD//ME nên:

Chia vế theo vế được:


(BM=CM)
AD là phân giác nên:

Thay vào trên được:


Bài 5: (4.0 điểm)
Chia đoạn thẳng dài 15cm thành 3 đoạn và dựng 3 hình vuông có cạnh là 3 đoạn thẳng ấy. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích ba hình vuông ấy.
Giải
Gọi độ dài cạnh của 3 hình vuông lần lượt:
x, y, z (x, y, z >0)
Theo đề bài ta có x + y + z = 15
Tổng diện tích của 3 hình vuông: S = x2 + y2 + z2 Đặt: x = 5 + a; y = 5 + b; z = 5 + c.
Vì x + y + z = 15 nên a + b + c = 0.
Khí đó ta có: x2 + y2 + z2 = (a+5)2 + (b+5)2 + (c+5)2
= 75 + 10(a+b+c) + a2 + b2 + c2 = 75 + a2 + b2 + c2 Suy ra: S
75 do đó S nhỏ nhất bằng 75 khi
a = b = c = 0
Khi đó 3 hình vuông có cạnh bằng nhau và đều bằng 5cm